Рис. 3 Взаимодействие постоянных токов

§ 2. Напряженность электростатического поля

Электростатика – раздел физики, который изучает существование и взаимодействие неподвижных зарядов

Электростатическое поле характеризуется двумя взаимосвязанными физическими величинами:

Опыт показывает, что сила F, действующая на неподвижный точечный пробный заряд q, всегда может быть представлена как

, (4)

где вектор называютнапряженностью электрического поля в данной точке. Вектор , как видно из (4), можно определить как силу, действующую на единичный положительный неподвижный заряд. Здесь предполагается, что пробный заряд q пр должен быть достаточно малым, чтобы его внесение не вызвало заметного искажения интересующего нас поля (вследствие возможного перераспределения создающих поле зарядов).

Силовая линия – математическая линия, направление касательной к которой в каждой точке, через которую она проходит совпадает с направлением вектора , а густота пропорциональна модулю вектора.

Силовые линии начинаются на “+” заряж. телах и заканчиваются на “-” заряж. телах.

Напряженность поля точечного заряда

Из опыта (закон Кулона) непосредственно следует, что напряженность поля неподвижного точечного заряда q на расстоянии r от него можно представить как

(5)

где k - постоянная вид, которой зависит от выбора системы отсчета, в системе СИ
; ε 0 - электрическая постоянная; -радиус-вектор, проведенный из центра поля, в котором расположен заряд q, до интересующей нас точки. Напряженность поля в системе СИ выражается ввольтах на метр (В/м). В зависимости от знака заряда q вектор направлен так же, как и (для положительного заряда), или противоположно ему (для отрицательного заряда).

По существу, формула выражает не что иное, какзакон Кулона, но в «полевой» форме. Вся совокупность экспериментальных фактов показывает, что этот закон справедлив для расстояний от 10 -14 м до нескольких километров, и пока нет никаких оснований ожидать, что этот закон не выполняется и при больших расстояниях.

Принцип суперпозиции

Напряженность поля системы точечных неподвижных зарядов равна векторной сумме напряженностей полей, которые создавали бы каждый из зарядов в отдельности:

, (6)

где r i - расстояние между зарядом q i и интересующей нас точкой поля.

Это утверждение называют принципом суперпозиции (наложения) электрических полей. Поле точечного заряда является фундаментальным, потому что, используя формулу поля точечного заряда и принцип суперпозиции, можно расчитать поле любого (!) заряда.

Распределение зарядов. Для упрощения математических расчетов во многих случаях бывает удобно игнорировать тот факт, что заряды имеют дискретную структуру (электроны, ядра), и считать, что они «размазаны» определенным образом и пространстве. Другими словами, удобно заменить истинное распределение точечных дискретных зарядов фиктивным непрерывным распределением. Это позволяет значительно упрощать расчеты, не внося сколько-нибудь значительной ошибки.

При переходе к непрерывному распределению вводят понятие о плотности зарядов - объемной ρ , поверхностной σ и линейной λ. По определению,

(7)

где dq - заряд, заключенный соответственно в объеме dV , на поверхности dS и на длине dl .

C учетом этих распределений формула (6) может быть представлена в другой форме. Например, если заряд распределен по объему, то надо заменить q i на dq = ρ dV и ∑ на ∫, тогда

, (8)

где интегрирование проводится по всему пространству, в котором ρ отлично от нуля (Рис.5).

V

dq

Таким образом, зная распределение зарядов, мы можем полностью решить задачу о нахождении напряженности электрического поля по формуле (6), если распределение дискретно, или по формуле (8), если распределение непрерывно. Этот метод нахождения электрического поля получил название метод непосредственного интегрирования . В общем случае расчет сопряжен со значительными трудностями (правда, не принципиального характера). Действительно, для нахождения вектора надо вычислить сначала его проекцииЕ x , Е y , Е z , а это по существу, три интеграла типа (8).

метод непосредственного интегрирования

Пример 1 Заряд q > 0 равномерно распределен по тонкому кольцу радиусом R . Найти напряженность Е электрического поля на оси кольца как функцию расстояния z от его центра.

Решение. Легко сообразить, что в данном случае вектор Е должен быть направлен по оси кольца (рис. 2). Выделим на кольце элемент dl . Запишем выражение для составляющей
от этого элемента в точке А:

где λ = q /2π R . Для всех элементов кольца r и R будут одними и теми же, поэтому интегрирование этого выражения сводится просто к замене dl на q.

r

0 α x

Взаимодействие между покоящимися зарядами осуществляется через электрическое поле.

Всякий заряд изменяет свойства окружающего его пространства - создает в нем электрическое поле. Это поле проявляет себя в том, что помещенный в какую-либо его точку электрический заряд оказывается под действием силы. Следовательно, для того чтобы выяснить, имеется ли в данном месте электрическое поле, нужно поместить туда заряженное тело (в дальнейшем для краткости мы будем говорить просто заряд) и установить, испытывает оно действие электрической силы или нет. По величине силы, действующей на данный заряд, можно, очевидно, судить об «интенсивности» поля.

Итак, для обнаружения и исследования электрического поля нужно воспользоваться некоторым «пробным» зарядом. Для того чтобы сила, действующая на пробный заряд, характеризовала поле «в данной точке», пробный заряд должен быть точечным. В противном случае сила, действующая на заряд, будет характеризовать свойства поля, усредненные по объему, занимаемому телом, которое несет на себе пробный заряд.

Исследуем с помощью точечного пробного заряда поле, создаваемое неподвижным точечным зарядом . Поместив пробный заряд в точку, положение которой относительно заряда q определяется радиусом-вектором (рис. 5.1), мы обнаружим, что на пробный заряд действует сила

(см. (2.2) и (4.1)). Здесь - орт радиуса-вектора .

Из формулы (5.1) следует, что сила, действующая на пробный заряд, зависит не только от величин, определяющих поле (от q и ), но и от величины пробного заряда Если брать разные по величине пробные заряды и т. д., то и силы которые они испытывают в данной точке поля, будут различными. Однако из (5.1) видно, что отношение для всех пробных зарядов будет одним и тем же и зависит лишь от величин q и , определяющих поле в данной точке. Поэтому естественно принять это отношение в качестве величины, характеризующей электрическое поле:

Эту векторную величину называют напряженностью электрического поля в данной точке (т. е. в той точке, в которой пробный заряд испытывает действие силы F).

В соответствии с формулой (5.2) напряженность электрического поля численно равна силе, действующей на единичный точечный заряд, находящийся в данной точке поля. Направление вектора Е совпадает с направлением силы, действующей на положительный заряд.

Отметим, что формула (5.2) остается справедливой и в том случае, когда в качестве пробного взят отрицательный заряд . В этом случае векторы Е и F имеют противоположные направления.

К понятию о напряженности электрического поля мы пришли, исследуя поле неподвижного точечного заряда. Однако определение (5.2) распространяется и на случай поля, создаваемого любой совокупностью неподвижных зарядов. В этом случае, впрочем, необходимо следующее уточнение. Может случиться, что расположение зарядов, обусловливающих исследуемое поле, изменяется под воздействием пробного заряда. Это произойдет, например, когда заряды, создающие поле, расположены на проводнике и могут свободно перемещаться в его пределах. Поэтому, чтобы не внести заметных изменений в исследуемое поле, величину пробного заряда нужно брать достаточно малой.

Из формул (5.2) и (5.1) следует, что напряженность поля точечного заряда пропорциональна величине заряда q и обратно пропорциональна квадрату расстояния от заряда до данной точки поля:

Направлен вектор Е вдоль радиальной прямой, проходящей через заряд и данную точку поля, от заряда, если он положителен, и к заряду, если он отрицателен.

В гауссовой системе формула для напряженности поля точечного заряда в вакууме имеет вид

За единицу напряженности электрического поля принимается напряженность в такой точке, в которой на заряд, равный единице (1 Кл в СИ, 1 СГСЭ - единице заряда в гауссовой системе), действует сила, величина которой также равна единице (1 Н в СИ, 1 дин в гауссовой системе). В гауссовой системе эта единица специального названия не имеет. В СИ единица напряженности электрического поля имеет название вольт на метр и обозначается В/м (см. формулу (8.5)).

Та же напряженность в гауссовой системе равна

Сопоставляя оба результата, находим, что

Согласно (5.2) сила, действующая на пробный заряд, равна

Очевидно, что на всякий точечный заряд q 1 в точке поля с напряженностью Е будет действовать сила

Если заряд q положителен, направление силы совпадает с направлением вектора Е. В случае отрицательного q направления векторов F h Е противоположны.

В § 2 было указано, что сила, с которой система зарядов действует на некоторый не входящий в систему заряд, равна векторной сумме сил, с которыми действует на данный заряд каждый из зарядов системы в отдельности (см. формулу (2.4)). Отсюда вытекает, что напряженность поля системы зарядов равна векторной сумме напряженностей полей, которые создавал бы каждый из зарядов системы в отдельности:

Последнее утверждение носит название принципа суперпозиции (наложения) электрических полей.

Принцип суперпозиции позволяет вычислить напряженность поля любой системы зарядов. Разбив протяженные заряды на достаточно малые доли dq, любую систему зарядов можно свести к совокупности точечных зарядов. Вклад каждого из таких зарядов в результирующее поле вычисляется по формуле (5.3).

Электрическое поле можно описать, указав для каждой точки величину и направление вектора Е. Совокупность этих векторов образует поле вектора напряженности электрического поля (ср. с полем вектора скорости, т. 1,§ 72). Поле вектора скорости можно представить очень наглядно с помощью линий тока. Аналогично электрическое поле можно описать с помощью линий напряженности, которые мы будем называть сокращенно линиями Е (их называют также силовыми линиями). Линии напряженности проводят таким образом, чтобы касательная к ним в каждой точке совпадала с направлением вектора Е.

Густота линий выбирается так, чтобы количество линий, пронизывающих единицу поверхности, перпендикулярной к линиям площадки, было равно числовому значению вектора Е. Тогда по картине линий напряженности можно судить о направлении и величине вектора Е в разных точках пространства (рис. 5.2).

Линии Е поля точечного заряда представляют собой совокупность радиальных прямых, направленных от заряда, если он положителен, и к заряду, если он отрицателен (рис. 5.3). Линии одним концом опираются на заряд, другим уходят в бесконечность. В самом деле, полное число линий, пересекающих сферическую поверхность произвольного радиуса , будет равно произведению густоты линий на поверхность сферы . Густота линий по условию численно равна Следовательно, количество линий численно равно Полученный результат означает, что число линий на любом расстоянии от заряда будет одним и тем же.

Отсюда и вытекает, что линии нигде, кроме заряда, не начинаются и не заканчиваются; они, начавшись на заряде, уходят в бесконечность (заряд положителен), либо, приходя из бесконечности, заканчиваются на заряде (заряд отрицателен). Это свойство линий Е является общим для всех электростатических полей, т. е. полей, создаваемых любой системой неподвижных зарядов: линии напряженности могут начинаться или заканчиваться лишь на зарядах либо уходить в бесконечность.

Тема данного урока - это изучение вопросов, связанных с понятием электрического поля. Мы познакомимся с очень важной характеристикой электрического поля - напряженностью - и рассмотрим изображение различных электрических полей с помощью силовых линий.

Рис. 2. Джеймс Клерк Максвелл ()

Определение: Электрическое поле - это особая форма материи, которая создается покоящимися зарядами и определяется действием на другие заряды.

Электрическое поле характеризуется определенными величинами. Одна из них называется напряженностью.

Вспомним, что по закону Кулона, сила взаимодействия двух зарядов:

где l - расстояние между заряженными частицами, а c - скорость света, скорость распространения электромагнитных волн.

Рассмотрим эксперимент по взаимодействию двух зарядов. Пусть электрическое поле создается положительным зарядом +q 0 , и в это поле на некотором расстоянии помещается пробный, точечный положительный заряд +q (рис. 3,а). Согласно закону Кулона, на пробный заряд будет действовать сила электростатического взаимодействия со стороны заряда, создающего электрическое поле. Тогда отношение этой силы к величине пробного заряда будет характеризовать действие электрического поля в данной точке. Если же в эту точку будет помещен вдвое больший пробный заряд, то сила взаимодействия также увеличится вдвое (рис. 3,б). Аналогичным образом отношение силы к величине пробного заряда снова даст значение действия электрического поля в данной точке. Так же действие электрического поля определяется и в том случае, если пробный заряд отрицательный (рис. 3,в).

Рис. 3. Сила электростатического взаимодействия двух точечных зарядов

Таким образом, в точке, где находится пробный заряд, поле характеризуется величиной:

Напряженность - векторная величина, является силовой характеристикой электрического поля, направлена в ту же сторону, куда и сила электростатического взаимодействия. Она показывает, с какой силой электрическое поле действует на помещенный в него заряд.

Рассмотрим напряженность электрического поля уединенного точечного заряда либо заряженной сферы.

Из определения напряженности следует, что для случая взаимодействия двух точечных зарядов, зная силу их кулоновского взаимодействия, можем получить величину напряженности электрического поля, которое создается зарядом q 0 в точке на расстоянии r от него до точки, в которой исследуется электрическое поле:

Данная формула показывает, что напряженность поля точечного заряда изменяется обратно пропорционально квадрату расстояния от данного заряда, то есть, например, при увеличении расстояния в два раза, напряженность уменьшается в четыре раза.

Попытаемся теперь охарактеризовать электростатическое поле нескольких зарядов. В этом случае необходимо воспользоваться сложением векторных величин напряженностей всех зарядов. Внесем пробный заряд и запишем сумму векторов сил, действующих на этот заряд. Результирующее значение напряженности получится при разделении значений этих сил на величину пробного заряда. Данный метод называется принципом суперпозиции .

Напряженность электростатического поля принято изображать графически при помощи силовых линий , которые также называют линиями напряженности. Такое изображение можно получить, построив вектора напряженности поля в как можно большем количестве точек вблизи данного заряда или целой системы заряженных тел.

Рис. 4. Линии напряженности электрического поля точечного заряда ()

Рассмотрим несколько примеров изображения силовых линий. Линии напряженности выходят из положительного заряда (рис. 4,а), то есть положительный заряд является источником силовых линий. Заканчиваются линии напряженности на отрицательном заряде (рис. 4,б).

Рассмотрим теперь систему, состоящую из положительного и отрицательного зарядов, находящихся на конечном расстоянии друг от друга (рис. 5). В этом случае линии напряженности направлены от положительного заряда к отрицательному.

Большой интерес представляет электрическое поле между двумя бесконечными плоскостями. Если одна из пластин заряжена положительно, а другая отрицательно, то в зазоре между плоскостями создается однородное электростатическое поле, линии напряженности которого оказываются параллельными друг другу (рис. 6).

Рис. 5. Линии напряженности системы двух зарядов ()

Рис. 6. Линии напряженности поля между заряженными пластинами ()

В случае неоднородного электрического поля величина напряженности определяется густотой силовых линий: там, где силовые линии гуще, величина напряженности поля больше (рис. 7).

Рис. 7. Неоднородное электрическое поле ()

Определение: Линиями напряженности называют непрерывные линии, касательные к которым в каждой точке совпадают с векторами напряженности в этой точке.

Линии напряженности начинаются на положительных зарядах, заканчиваются на отрицательных и являются непрерывными.

Изображать электрическое поле с помощью силовых линий мы можем так, как сами посчитаем нужным, то есть число силовых линий, их густота ничем не ограничивается. Но при этом необходимо учитывать направление векторов напряженности поля и их абсолютные величины.

Очень важно следующее замечание. Как говорилось ранее, закон Кулона применим только для точечных покоящихся зарядов, а также заряженных шариков, сфер. Напряженность же позволяет характеризовать электрическое поле вне зависимости от формы заряженного тела, которое это поле создает.

Список литературы

1. Мякишев Г.Я., Буховцев Б.Б., Сотский Н.Н. Физика: учеб. для 10 кл. общеобразоват. учреждений: базовый и профил. уровни. - М.: Просвещение, 2008.
2. Касьянов В.А. Физика. 10 кл.: учеб. для общеобразоват. учеб. заведений. - М.: Дрофа, 2000.
3. Рымкевич А.П. Физика. Задачник. 10-11 кл.: пособие для общеобразоват. учреждений. - М.: Дрофа, 2013.
4. Генденштейн Л.Э., Дик Ю.И. Физика. 10 класс. В 2 ч. Ч. 1. Учебник для общеобразовательных учреждений (базовый уровень) - М.: Мнемозина, 2009.

1. Nauka.guskoff.ru ().
2. Youtube ().
3. Physics.ru ().

Домашнее задание

1. Стр. 378: № 1-3. Касьянов В.А. Физика. 10 кл.: учеб. для общеобразоват. учеб. заведений. - М.: Дрофа, 2000. ()
2. С каким ускорением движется электрон в поле напряженностью 10 кВ/м?
3. В вершинах равностороннего треугольника со стороной a находятся заряды +q, +q и -q. Найти напряженность поля Е в центре треугольника.

Прежде чем выяснять, как определить напряженность электрического поля, нужно обязательно понять суть этого явления.

Свойства электрического поля

В создании электрического поля участвуют подвижные и неподвижные заряды. Наличие поля проявляется в его силовом воздействии на них. Кроме того, поле способно создавать индукцию зарядов, находящихся на поверхности проводников. Когда поле создается с помощью неподвижных зарядов, его считают стационарным электрическим полем. Другое название - электростатическое поле. Является одной из разновидностей электромагнитного поля, с помощью которого происходят все силовые взаимодействия, возникающие между заряженными частицами.

В чем измеряется напряженность электрического поля

Напряженность - есть векторная величина, оказывающая силовое воздействие на заряженные частицы. Величина определяется как отношение силы, направленной с его стороны, к величине точечного пробного электрозаряда в конкретной точке этого поля. Пробный электрозаряд вносится в электрополе специально, чтобы можно было рассчитать напряженность.

Кроме теории, существуют практические способы, как определить напряженность электрического поля:

1. В произвольном электрическом поле, необходимо взять тело, содержащее электрозаряд. Размеры этого тела должны быть меньше, чем размеры тела, с помощью которого генерируется электрическое поле. Для этой цели можно использовать небольшой металлический шарик с электрозарядом. Необходимо измерить заряд шарика с помощью электрометра и поместить в поле. Действующую на шарик силу необходимо уравновесить динамометром. После этого с динамометра снимаются показания, выраженные в ньютонах. Если значение силы разделить на величину заряда, то получится значение напряженности, выраженное в вольт/метр.
2. Напряженность поля в определенной точке, удаленной от заряда на какую-либо длину, вначале определяется измерением расстояния между ними. Затем, величина делится на полученное расстояние, возведенное в квадрат. К полученному результату применяется коэффициент 9*10^9.
3. В конденсаторе определение напряженности начинается с измерения напряжения между его пластинами с помощью вольтметра. Далее, необходимо измерить расстояние между пластинами. Значение в вольтах делится на расстояние между пластинами в метрах. Полученный результат и будет значением напряженности электрического поля.